时间复杂度和空间复杂度-灵析社区

引入

这里提出一个问题，我们应该如何衡量一个算法的好坏？

这里就要提到算法效率了。算法效率分为两种：一种为时间效率，一种为空间效率。时间效率为称为时间复杂度，空间效率被称为空间复杂度。时间复杂度主要衡量的是一个算法的运行速度，空间复杂度衡量的是一个算法所需要的空间。在计算机的早期，因为计算机空间小，我们队空间复杂度很重视。但是在经过一段的时间的发展后，计算机的内存变得庞大起来后，我们就不太关注空间复杂度了，而是比较关心时间复杂度。

时间复杂度

时间复杂度的概念

时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个数学函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

大 O 的渐进表示法

    void func1(int N){
        int count = 0;
        for (int i = 0; i < N ; i++) {
            for (int j = 0; j < N ; j++) {
                count++;
            }
        }
        for (int k = 0; k < 2 * N ; k++) {
            count++;
        }
        int M = 10;
        while ((M--) > 0) {
            count++;
        }
        System.out.println(count);
    }

通过简单的计算我们可以得到 func的时间复杂度为：n^2+2*n+10

但是在实际中我们计算时间复杂度的时候，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概的执行次数，这里就是我们的大 O 渐进表达法。

大 O 阶表达方式

1 用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

2 在修改后的运行次数函数中，加法中只保留最高阶项

3 如果最高阶存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数，得到的结果就是大O阶

那么，我们使用大O阶的渐进表示法后，func1的时间复杂度就是 O(n^2)

算法的时间复杂度是会存在最好，平均，最坏的情况：

最坏：任意输入规模的最大运行次数

平均：任意输入规模的期望运行次数

最好：任意输入规模的最小运行次数

一般情况下，我们关注的是最坏的运行情况

常见的时间复杂度计算

实例 1

    void func2(int N) {
        int count = 0;
        for (int k = 0; k < 2 * N ; k++) {
            count++;
        }
        int M = 10;
        while ((M--) > 0) {
            count++;
        } 
        System.out.println(count);
    }

实例一我们得到基本执行次数为 2*n+10 ,通过大 O 阶表示，func2 的时间复杂度为 O(n)

实例 2

   void func3(int N, int M) {
        int count = 0;
        for (int k = 0; k < M; k++) {
            count++;
        } 
        for (int k = 0; k < N ; k++) {
            count++;
        } 
        System.out.println(count);
    }

func 3 基本执行次数为 m+n 次，又因为 m、n 都是未知数，时间复杂度为 O(n+m)

实例 3

    void func4(int N) {
        int count = 0;
        for (int k = 0; k < 100; k++) {
            count++;
        } 
        System.out.println(count);
    }

实例 3 基本操作执行了 100 次，通过推导大 O 阶方法，常数都为 1 得 func4 的复杂度为 1

实例 4

    void bubbleSort(int[] array) {
        for (int end = array.length; end > 0; end--) {
            boolean sorted = true;
            for (int i = 1; i < end; i++) {
                if (array[i - 1] > array[i]) {
                    Swap(array, i - 1, i);
                    sorted = false;
                }
            } if
            (sorted == true) {
                break;
            }
        }
    }

**实例 4 我们采用最坏的基本操作执行了 1/2*(n^2) ,大 O 阶推导就是 n^2**

实例 5

    int binarySearch(int[] array, int value) {
        int begin = 0;
        int end = array.length - 1;
        while (begin <= end) {
            int mid = begin + ((end-begin) / 2);
            if (array[mid] < value)
                begin = mid + 1;
            else if (array[mid] > value)
                end = mid - 1;
            else
                return mid;
        } 
        return -1;
    }

实例5的最坏基本操作执行次数为 log2N，时间复杂度为 log2N

实例 6

    long factorial(int N) {
        return N < 2 ? N : factorial(N - 1) * N;
    }

实例 6 的基本执行次数为 n 次，时间复杂度为 n

实例 7

    long factorial(int N) {
        return N < 2 ? N : factorial(N - 1) * N;
    }

实例 7 的基本操作执行次数为 (1-2^N) / -1 , 时间复杂度为 2^n

空间复杂度

空间复杂度是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。空间复杂度不是程序占用了多少 bytes 的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟时间复杂度类似，也使用大O渐进表示法。

常见的空间复杂度计算

话不多说，我们直接上代码：

实例1

    void bubbleSort(int[] array) {
        for (int end = array.length; end > 0; end--) {
            boolean sorted = true;
            for (int i = 1; i < end; i++) {
                if (array[i - 1] > array[i]) {
                    Swap(array, i - 1, i);
                    sorted = false;
                }
            }
            if
            (sorted == true) {
                break;
            }
        }

实例1使用了常数个空间，所以空间复杂度为 O(1)

实例 2

    long[] fibonacci(int n) {
        long[] fibArray = new long[n + 1];
        fibArray[0] = 0;
        fibArray[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n ; i++) {
            fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
        }
        return fibArray;
    }

实例二它动态开辟了 n 个空间，时间复杂度为 O(n)

实例 3

long factorial(int N) {
return N < 2 ? N : factorial(N-1)*N;
}

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